- 簡(jiǎn)單理解傅里葉級(jí)數(shù)(Fourier Series)
- 初中學(xué)業(yè)不好,想將來學(xué)習(xí)汽車修理方面的技術(shù)怎么樣?
- "汽車維修、汽車保養(yǎng)的知識(shí)可以在哪里可以學(xué)習(xí)到? "
“萬般皆下品,唯有鍵盤高”。
在網(wǎng)絡(luò)上總是有這樣一種人,每當(dāng)他們拿起手機(jī)開始“沖浪”,就會(huì)迫不及待地去到一些自己略懂皮毛的領(lǐng)域內(nèi)發(fā)表言論,并無論如何都要堅(jiān)稱自己的理論才是正確的。
只可惜,礙于智商和知識(shí)儲(chǔ)備量的雙重限制,最終這些人往往都只有等著被別人打臉的份。當(dāng)然即便如此他們也會(huì)秉持著“鴨子嘴硬”的原則跟你杠到底,絲毫不會(huì)顧及自己那連底褲都蕩然無存的臉面。
在此借用知乎網(wǎng)友@?Jonathan?Hou的一段話:
鍵盤車神的存在,在很大程度上幫助非鍵盤車神篩選智力低下人士。無論鍵盤車神的言論正確與否,他們并不覺得自己有任何的不對(duì)。他們可能開過一次某某車,有過一次某某的經(jīng)驗(yàn),這屈指可數(shù)的經(jīng)驗(yàn)就能被鍵盤車神意*到整個(gè)地域性車系。
以偏概全是他們的,道聽途說是他們的護(hù)身符。
不過作為一個(gè)汽車媒體,為廣大用戶(包括鍵盤車神)普及汽車知識(shí)也是我們的主要任務(wù)之一。所以出于專業(yè)性的角度,我們今天就為大家科普一下關(guān)于越野圈“黑話”背后的真正含義。
如果剛巧你就是個(gè)鍵盤車神,那么也可以將這篇文章當(dāng)作是“越野圈鍵盤車神進(jìn)修指南”。
黑話一:沒有三把鎖的越野車都是渣
這里說的“三把鎖”并不是掛在大門上閃閃發(fā)光的防盜鎖,而是用于鎖止差速器的機(jī)械式差速鎖。在越野車沒有電子限滑的年代,差速鎖的數(shù)量幾乎就代表著這臺(tái)車通過能力的強(qiáng)大與否。
我們都知道,當(dāng)車輛在轉(zhuǎn)彎時(shí),車輪內(nèi)側(cè)的行進(jìn)軌跡會(huì)小于車輪外側(cè),這就要求在轉(zhuǎn)彎時(shí)外側(cè)車輪的轉(zhuǎn)速要高于內(nèi)側(cè)車輪的轉(zhuǎn)速。但是發(fā)動(dòng)機(jī)的輸出軸只有一條,也就說它并不能分別按需求給同軸車輪輸送動(dòng)力,因此讓車輪實(shí)現(xiàn)順暢轉(zhuǎn)彎的任務(wù)就放在了差速器的身上。
然而差速器的優(yōu)勢(shì)到了野外就變成了劣勢(shì),當(dāng)車輛在濕滑或低附著力路面發(fā)生打滑時(shí),差速器會(huì)因?yàn)榻Y(jié)構(gòu)特性的原因一直允許打滑車輪空轉(zhuǎn),而動(dòng)力也會(huì)在此過程中發(fā)生流失,最終導(dǎo)致車輛無法脫困。
這時(shí)為了抑制差速器的作用,差速鎖也就應(yīng)運(yùn)而生了。無論是手動(dòng)開啟式還是自動(dòng)感應(yīng)式,它們的原理都是讓差速鎖將差速器殼與半軸鎖緊成一體,使差速器失去差速作用,使全部扭矩可以轉(zhuǎn)移到另一側(cè)驅(qū)動(dòng)輪上。
想要注意的是,只有帶機(jī)械中央差速器結(jié)構(gòu)的車型才可能擁有真正的三把鎖,如果誰跟你說他的適時(shí)四驅(qū)也有“三把鎖”,那他一定是被忽悠了。
黑話二:全時(shí)四驅(qū)才是未來
在說這句話之前,你先要明白自己口中的“全時(shí)四驅(qū)”到底是什么來頭,以免產(chǎn)生一些不必要的尷尬。
從字面意思來理解,全時(shí)四驅(qū)就代表著車輛在任何狀態(tài)下都會(huì)保持四輪驅(qū)動(dòng),且全程不需要人為干預(yù),在一切路況上都擁有著極其強(qiáng)悍的牽引性能。但這就需要車輛在傳動(dòng)系統(tǒng)中增加一個(gè)機(jī)械中央差速器,將動(dòng)力合理的分配到前后驅(qū)動(dòng)橋。
以最常見的全時(shí)四驅(qū)版本普拉多為例,在正常行駛狀態(tài)下托森差速器會(huì)將動(dòng)力維持在前4后6的狀態(tài)。但只要偵測(cè)到車輪打滑,就會(huì)根據(jù)當(dāng)前狀況進(jìn)行調(diào)整,極限狀態(tài)下可以達(dá)到前2后8或是前8后2的狀態(tài)。
不過隨著電子四驅(qū)陣營的日益壯大,很多以粘性軸和多片離合器為基礎(chǔ)的適時(shí)四驅(qū)(例如TOD雙速四驅(qū)系統(tǒng))也自喻為“全時(shí)四驅(qū)”,其實(shí)這種說法是非常不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?。根?jù)目前的SAE標(biāo)準(zhǔn)來看,只有配備中央差速器的才能夠被稱之為全時(shí)四驅(qū),否則一律會(huì)被歸到適時(shí)四驅(qū)/分時(shí)四驅(qū)的陣營。
然而在這其中有一種極其特殊的四驅(qū)系統(tǒng),也就是三菱的超選四驅(qū)(SS4)。在它的結(jié)構(gòu)中既包含了一套以粘性軸為核心的全時(shí)四驅(qū),又并聯(lián)了一套傳統(tǒng)的分時(shí)四驅(qū),使得它可以在兩驅(qū)/高速四驅(qū)/高速四驅(qū)鎖中差/低速四驅(qū)幾種模式之間任意切換。
毫不夸張的說,超選四驅(qū)即便已經(jīng)問世多年,但論性能來看仍然是第一梯隊(duì)的領(lǐng)軍產(chǎn)品之一。
黑話三:帶“大梁”的車身剛性高
到底什么才是真正的硬派越野,這個(gè)問題爭(zhēng)議了多年也一直沒有結(jié)果。不過大部分人都認(rèn)為,只有擁有獨(dú)立“大梁”的車型才是真硬派。
所謂的“大梁”就是指非承載車身,這種結(jié)構(gòu)最大的特點(diǎn)就是車輛底盤承載著整個(gè)車體,發(fā)動(dòng)機(jī)、懸掛和車身都安裝在底盤上,即便外殼和底盤分離,車輛同樣能夠正常行駛。這一點(diǎn)是與高度集成化的承載式車身截然不同的。
同時(shí)非承載式車身本體懸置于車架上,兩者用彈元件聯(lián)接。車架的振動(dòng)通過彈性元件傳到車身上,大部分振動(dòng)被減弱或消除,發(fā)生碰撞時(shí)車架能吸收大部分沖擊力,在耐用度和韌性上都有著極佳的表現(xiàn)。
目前大多數(shù)人都對(duì)非承載式車身有著嚴(yán)重的誤區(qū),他們普遍認(rèn)為非承載式車身的剛性要普遍優(yōu)于承載式車身,實(shí)際上真相卻是相反的。
在絕對(duì)剛性上承載式車身反而要更勝一籌,但如果長(zhǎng)期行駛在顛簸路面下,車身很可能會(huì)發(fā)生塑性形變導(dǎo)致車身變形。而非承載式車身恰恰就是因?yàn)楸倔w可以允許一定量的彈性形變,所以才能維持驚人的耐用性。
總結(jié)一下,以上是目前鍵盤車神在越野圈內(nèi)最容易“出洋相”的三個(gè)語句,如果因不了解其中的原理導(dǎo)致使用不當(dāng),很有可能會(huì)被一些專業(yè)玩家懟的鼻青臉腫。但這也不用擔(dān)心,對(duì)于他們來說,當(dāng)拿起鍵盤的那一刻,就相當(dāng)于給自己上了無數(shù)個(gè)無敵Buff。
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-The?End-
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簡(jiǎn)單理解傅里葉級(jí)數(shù)(Fourier Series)
你好!21歲青年的話可以考慮報(bào)讀中專或職業(yè)技術(shù)學(xué)校。
現(xiàn)在可以學(xué)的技術(shù)可以說是非常的多,學(xué)技術(shù)是人生中第一次面臨選擇,那么學(xué)點(diǎn)什么技術(shù)有前景?個(gè)人建議,是可以選擇汽修這塊,為什么要選擇汽修呢?
首先,汽修專業(yè)是目前熱門的專業(yè),文化課程少,實(shí)訓(xùn)課程比較多,學(xué)生容易接受。通過學(xué)習(xí)不僅能夠培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,還能在學(xué)習(xí)中鞏固,所謂寓教于樂;
其次,行業(yè)前景。我國汽車擁有量的不斷增加,帶動(dòng)的是汽修行業(yè)的飛速發(fā)展。隨著汽車的不斷普及,汽車從奢侈品轉(zhuǎn)變?yōu)?a href="/tags-s-h.html" target="_blank" class="b95e4822f659bbda relatedlink">生活必需品,汽車維修保養(yǎng)場(chǎng)進(jìn)一步擴(kuò)大。
最后,就是關(guān)于學(xué)校的選擇上,建議從以下幾個(gè)方面進(jìn)行考察:1)師資,是否有足夠且豐富的教學(xué)***; 2)設(shè)備,實(shí)訓(xùn)設(shè)備是不是和市場(chǎng)接軌,實(shí)操多不多;3) 就業(yè),畢業(yè)后學(xué)生的就業(yè)是不是好。
初中學(xué)業(yè)不好,想將來學(xué)習(xí)汽車修理方面的技術(shù)怎么樣?
從我們出生,我們看到的世界都以時(shí)間貫穿,股票的走勢(shì)、人的身高、汽車的軌跡都會(huì)隨著時(shí)間發(fā)生改變。 這種以時(shí)間作為參照來觀察動(dòng)態(tài)世界的方法我們稱其為時(shí)域分析 。而我們也想當(dāng)然的認(rèn)為,世間萬物都在隨著時(shí)間不停的改變,并且永遠(yuǎn)不會(huì)靜止下來。但如果我告訴你,用另一種方法來觀察世界的話,你會(huì)發(fā)現(xiàn)世界是永恒不變的,你會(huì)不會(huì)覺得我瘋了?我沒有瘋,這個(gè)靜止的世界就叫做頻域。
還是舉個(gè)栗子并且有圖有真相才好理解。
如果我說我能用前面說的正弦曲線波疊加出一個(gè)帶 90 度角的矩形波來,你會(huì)相信嗎?你不會(huì),就像當(dāng)年的我一樣。但是看看下圖:
第一幅圖是一個(gè)郁悶的正弦波 cos(x)
第二幅圖是 2 個(gè)賣萌的正弦波的疊加 cos (x) +a.cos (3x)
第三幅圖是 4 個(gè)發(fā)春的正弦波的疊加
第四幅圖是 10 個(gè)便秘的正弦波的疊加
隨著正弦波數(shù)量逐漸的增長(zhǎng),他們最終會(huì)疊加成一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的矩形,大家從中體會(huì)到了什么道理?(只要努力,彎的都能掰直?。?/p>
隨著疊加的遞增,所有正弦波中上升的部分逐漸讓原本緩慢增加的曲線不斷變陡,而所有正弦波中下降的部分又抵消了上升到最高處時(shí)繼續(xù)上升的部分使其變?yōu)樗骄€。一個(gè)矩形就這么疊加而成了。但是要多少個(gè)正弦波疊加起來才能形成一個(gè)標(biāo)準(zhǔn) 90 度角的矩形波呢?不幸的告訴大家,答案是無窮多個(gè)。(上帝:我能讓你們猜著我?)
不僅僅是矩形,你能想到的任何波形都是可以如此方法用正弦波疊加起來的。這是沒有接觸過傅里葉分析的人在直覺上的第一個(gè)難點(diǎn),但是一旦接受了這樣的設(shè)定,游戲就開始有意思起來了。
還是上圖的正弦波累加成矩形波,我們換一個(gè)角度來看看:
在這幾幅圖中,最前面黑色的線就是所有正弦波疊加而成的總和,也就是越來越接近矩形波的那個(gè)圖形。而后面依不同顏色排列而成的正弦波就是組合為矩形波的各個(gè)分量。這些正弦波按照頻率從低到高從前向后排列開來,而每一個(gè)波的振幅都是不同的。一定有細(xì)心的讀者發(fā)現(xiàn)了,每?jī)蓚€(gè)正弦波之間都還有一條直線,那并不是分割線,而是振幅為 0 的正弦波!也就是說,為了組成特殊的曲線,有些正弦波成分是不需要的。
這里,不同頻率的正弦波我們成為頻率分量。
好了,關(guān)鍵的地方來了?。?/strong>
如果我們把第一個(gè)頻率最低的頻率分量看作“1”,我們就有了構(gòu)建頻域的最基本單元。對(duì)于我們最常見的有理數(shù)軸,數(shù)字“1”就是有理數(shù)軸的基本單元。
(好吧,數(shù)學(xué)稱法為——基。在那個(gè)年代,這個(gè)字還沒有其他奇怪的解釋,后面還有正交基這樣的詞匯我會(huì)說嗎?)
時(shí)域的基本單元就是“1”秒,如果我們將一個(gè)角頻率為ω0的正弦波cos(ω0t)看做基礎(chǔ),那么頻域的基本單元就是ω0。
有了“1”,還要有“0”才能構(gòu)成世界,那么頻域的“0”是什么呢?cos(0t)就是一個(gè)周期無限長(zhǎng)的正弦波,也就是一條直線!所以在頻域,0 頻率也被稱為直流分量,在傅里葉級(jí)數(shù)的疊加中,它僅僅影響全部波形相對(duì)于數(shù)軸整體向上或是向下而不改變波的形狀。
接下來,讓我們回到初中,回憶一下已經(jīng)去的八戒,啊不,已經(jīng)去的老師是怎么定義正弦波的吧。
正弦波就是一個(gè)圓周運(yùn)動(dòng)在一條直線上的投影。所以頻域的基本單元也可以理解為一個(gè)始終在旋轉(zhuǎn)的圓。
介紹完了頻域的基本組成單元,我們就可以看一看一個(gè)矩形波,在頻域里的另一個(gè)模樣了:
這就是矩形波在頻域的樣子,是不是完全認(rèn)不出來了?教科書一般就給到這里然后留給了讀者無窮的遐想,以及無窮的吐槽,其實(shí)教科書只要補(bǔ)一張圖就足夠了:頻域圖像,也就是俗稱的頻譜,就是—
再清楚一點(diǎn):
老實(shí)說,在我學(xué)傅里葉變換時(shí),維基的這個(gè)圖還沒有出現(xiàn),那時(shí)我就想到了這種表達(dá)方法,而且,后面還會(huì)加入維基沒有表示出來的另一個(gè)譜——相位譜。
但是在講相位譜之前,我們先回顧一下剛剛的這個(gè)例子究竟意味著什么。記得前面說過的那句“世界是靜止的”嗎?估計(jì)好多人對(duì)這句話都已經(jīng)吐槽半天了。想象一下,世界上每一個(gè)看似混亂的表象,實(shí)際都是一條時(shí)間軸上不規(guī)則的曲線,但實(shí)際這些曲線都是由這些無窮無盡的正弦波組成。我們看似不規(guī)律的事情反而是規(guī)律的正弦波在時(shí)域上的投影,而正弦波又是一個(gè)旋轉(zhuǎn)的圓在直線上的投影。那么你的腦海中會(huì)產(chǎn)生一個(gè)什么畫面呢?
我們眼中的世界就像皮影戲的大幕布,幕布的后面有無數(shù)的齒輪,大齒輪帶動(dòng)小齒輪,小齒輪再帶動(dòng)更小的。在最外面的小齒輪上有一個(gè)小人——那就是我們自己。我們只看到這個(gè)小人毫無規(guī)律的在幕布前表演,卻無法預(yù)測(cè)他下一步會(huì)去哪。而幕布后面的齒輪卻永遠(yuǎn)一直那樣不停的旋轉(zhuǎn),永不停歇。這樣說來有些宿命論的感覺。說實(shí)話,這種對(duì)人生的描繪是我一個(gè)朋友在我們都是高中生的時(shí)候感嘆的,當(dāng)時(shí)想想似懂非懂,直到有一天我學(xué)到了傅里葉級(jí)數(shù)……
上一章的關(guān)鍵詞是:從側(cè)面看。這一章的關(guān)鍵詞是:從下面看。
在這一章最開始,我想先回答很多人的一個(gè)問題:傅里葉分析究竟是干什么用的?這段相對(duì)比較枯燥,已經(jīng)知道了的同學(xué)可以直接跳到下一個(gè)分割線。
先說一個(gè)最直接的用途。無論聽廣播還是看電視,我們一定對(duì)一個(gè)詞不陌生——頻道。頻道頻道,就是頻率的通道,不同的頻道就是將不同的頻率作為一個(gè)通道來進(jìn)行信息傳輸。下面大家嘗試一件事:
先在紙上畫一個(gè)sin(x),不一定標(biāo)準(zhǔn),意思差不多就行。不是很難吧。好,接下去畫一個(gè)sin(3x)+sin(5x)的圖形。別說標(biāo)準(zhǔn)不標(biāo)準(zhǔn)了,曲線什么時(shí)候上升什么時(shí)候下降你都不一定畫的對(duì)吧?
好,畫不出來不要緊,我把sin(3x)+sin(5x)的曲線給你,但是前提是你不知道這個(gè)曲線的方程式,現(xiàn)在需要你把sin(5x)給我從圖里拿出去,看看剩下的是什么。這基本是不可能做到的。但是在頻域呢?則簡(jiǎn)單的很,無非就是幾條豎線而已。
所以很多在時(shí)域看似不可能做到的數(shù)學(xué)操作,在頻域相反很容易。這就是需要傅里葉變換的地方。尤其是從某條曲線中去除一些特定的頻率成分,這在工程上稱為 濾波 ,是信號(hào)處理最重要的概念之一,只有在頻域才能輕松的做到。
再說一個(gè)更重要,但是稍微復(fù)雜一點(diǎn)的用途——求解微分方程。(這段有點(diǎn)難度,看不懂的可以直接跳過這段)微分方程的重要性不用我過多介紹了。各行各業(yè)都用的到。但是求解微分方程卻是一件相當(dāng)麻煩的事情。因?yàn)槌艘?jì)算加減乘除,還要計(jì)算微分積分。而傅里葉變換則可以讓微分和積分在頻域中變?yōu)槌朔ê统?,大學(xué)數(shù)學(xué)瞬間變小學(xué)算術(shù)有沒有。
傅里葉分析當(dāng)然還有其他更重要的用途,我們隨著講隨著提。
下面我們繼續(xù)說相位譜:
通過時(shí)域到頻域的變換,我們得到了一個(gè)從側(cè)面看的頻譜,但是這個(gè)頻譜并沒有包含時(shí)域中全部的信息。因?yàn)轭l譜只代表每一個(gè)對(duì)應(yīng)的正弦波的振幅是多少,而沒有提到相位。基礎(chǔ)的正弦波A.sin(wt+θ)中,振幅,頻率,相位缺一不可,不同相位決定了波的位置,所以對(duì)于頻域分析,僅僅有頻譜(振幅譜)是不夠的,我們還需要一個(gè)相位譜。那么這個(gè)相位譜在哪呢?我們看下圖,這次為了避免太混論,我們用7個(gè)波疊加的圖。
鑒于正弦波是周期的,我們需要設(shè)定一個(gè)用來標(biāo)記正弦波位置的東西。在圖中就是那些小紅點(diǎn)。小紅點(diǎn)是距離頻率軸最近的波峰,而這個(gè)波峰所處的位置離頻率軸有多遠(yuǎn)呢?為了看的更清楚,我們將紅色的點(diǎn)投影到下平面,投影點(diǎn)我們用粉色點(diǎn)來表示。當(dāng)然,這些粉色的點(diǎn)只標(biāo)注了波峰距離頻率軸的距離,并不是相位。
在完整的立體圖中,我們將投影得到的時(shí)間差依次除以所在頻率的周期,就得到了最下面的相位譜。所以,頻譜是從側(cè)面看,相位譜是從下面看。下次偷看女生裙底被發(fā)現(xiàn)的話,可以告訴她:“對(duì)不起,我只是想看看你的相位譜。”
注意到,相位譜中的相位除了0,就是Pi。因?yàn)閏os(t+Pi)=-cos(t),所以實(shí)際上相位為Pi的波只是上下翻轉(zhuǎn)了而已。對(duì)于周期方波的傅里葉級(jí)數(shù),這樣的相位譜已經(jīng)是很簡(jiǎn)單的了。另外值得注意的是,由于cos(t+2Pi)=cos(t),所以相位差是周期的,pi和3pi,5pi,7pi都是相同的相位。人為定義相位譜的值域?yàn)?-pi,pi],所以圖中的相位差均為Pi。
最后來一張大***:
傅里葉變換實(shí)際上是對(duì)一個(gè)周期無限大的函數(shù)進(jìn)行傅里葉變換。
所以說,鋼琴譜其實(shí)并非一個(gè)連續(xù)的頻譜,而是很多在時(shí)間上離散的頻率,但是這樣的一個(gè)貼切的比喻真的是很難找出第二個(gè)來了。
因此在傅里葉變換在頻域上就從離散譜變成了連續(xù)譜。那么連續(xù)譜是什么樣子呢?
你見過大海么?
為了方便大家對(duì)比,我們這次從另一個(gè)角度來看頻譜,還是傅里葉級(jí)數(shù)中用到最多的那幅圖,我們從頻率較高的方向看。
以上是離散譜,那么連續(xù)譜是什么樣子呢?
盡情的發(fā)揮你的想象,想象這些離散的正弦波離得越來越近,逐漸變得連續(xù)……
直到變得像波濤起伏的大海:
很抱歉,為了能讓這些波浪更清晰的看到,我沒有選用正確的計(jì)算參數(shù),而是選擇了一些讓更美觀的參數(shù),不然這圖看起來就像屎一樣了。
不過通過這樣兩幅圖去比較,大家應(yīng)該可以理解如何從離散譜變成了連續(xù)譜的了吧?原來離散譜的疊加,變成了連續(xù)譜的累積。所以在計(jì)算上也從求和符號(hào)變成了積分符號(hào)。
不過,這個(gè)故事還沒有講完,接下去,我保證讓你看到一幅比上圖更美麗壯觀的,但是這里需要介紹到一個(gè)數(shù)學(xué)工具才能然故事繼續(xù),這個(gè)工具就是——
虛數(shù)i這個(gè)概念大家在高中就接觸過,但那時(shí)我們只知道它是-1 的平方根,可是它真正的意義是什么呢?
這里有一條數(shù)軸,在數(shù)軸上有一個(gè)紅色的線段,它的長(zhǎng)度是1。當(dāng)它乘以 3 的時(shí)候,它的長(zhǎng)度發(fā)生了變化,變成了藍(lán)色的線段,而當(dāng)它乘以-1 的時(shí)候,就變成了綠色的線段,或者說線段在數(shù)軸上圍繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)了 180 度。
我們知道乘-1 其實(shí)就是乘了兩次 i 使線段旋轉(zhuǎn)了 180 度,那么乘一次 i 呢——答案很簡(jiǎn)單——旋轉(zhuǎn)了 90 度。
同時(shí),我們獲得了一個(gè)垂直的虛數(shù)軸。實(shí)數(shù)軸與虛數(shù)軸共同構(gòu)成了一個(gè)復(fù)數(shù)的平面,也稱復(fù)平面。這樣我們就了解到,乘虛數(shù)i的一個(gè)功能——旋轉(zhuǎn)。
現(xiàn)在,就有請(qǐng)宇宙第一耍帥公式歐拉公式隆重登場(chǎng)——
這個(gè)公式在數(shù)學(xué)領(lǐng)域的意義要遠(yuǎn)大于傅里葉分析,但是乘它為宇宙第一耍帥公式是因?yàn)樗奶厥庑问健?dāng)x等于 Pi 的時(shí)候。
經(jīng)常有理工科的學(xué)生為了跟妹子表現(xiàn)自己的學(xué)術(shù)功底,用這個(gè)公式來給妹子解釋數(shù)學(xué)之美:”石榴姐你看,這個(gè)公式里既有自然底數(shù)e,自然數(shù) 1 和0,虛數(shù)i還有圓周率 pi,它是這么簡(jiǎn)潔,這么美麗??!“但是姑娘們心里往往只有一句話:”臭***絲……“
這個(gè)公式關(guān)鍵的作用,是將正弦波統(tǒng)一成了簡(jiǎn)單的指數(shù)形式。我們來看看圖像上的涵義:
歐拉公式所描繪的,是一個(gè)隨著時(shí)間變化,在復(fù)平面上做圓周運(yùn)動(dòng)的點(diǎn),隨著時(shí)間的改變,在時(shí)間軸上就成了一條螺旋線。如果只看它的實(shí)數(shù)部分,也就是螺旋線在左側(cè)的投影,就是一個(gè)最基礎(chǔ)的余弦函數(shù)。而右側(cè)的投影則是一個(gè)正弦函數(shù)。
關(guān)于復(fù)數(shù)更深的理解,大家可以參考:
復(fù)數(shù)的物理意義是什么?
這里不需要講的太復(fù)雜,足夠讓大家理解后面的內(nèi)容就可以了。
有了歐拉公式的幫助,我們便知道:正弦波的疊加,也可以理解為螺旋線的疊加在實(shí)數(shù)空間的投影。而螺旋線的疊加如果用一個(gè)形象的栗子來理解是什么呢?
光波
高中時(shí)我們就學(xué)過,自然光是由不同顏色的光疊加而成的,而最著名的實(shí)驗(yàn)就是牛頓師傅的三棱鏡實(shí)驗(yàn):
所以其實(shí)我們?cè)诤茉缇徒佑|到了光的頻譜,只是并沒有了解頻譜更重要的意義。
但不同的是,傅里葉變換出來的頻譜不僅僅是可見光這樣頻率范圍有限的疊加,而是頻率從 0 到無窮所有頻率的組合。
這里,我們可以用兩種方法來理解正弦波:
第一種前面已經(jīng)講過了,就是螺旋線在實(shí)軸的投影。
另一種需要借助歐拉公式的另一種形式去理解:
將以上兩式相加再除2,得到:
這個(gè)式子可以怎么理解呢?
我們剛才講過,e^(it)可以理解為一條逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的螺旋線,那么 e^(-it)則可以理解為一條順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的螺旋線。而 cos (t)則是這兩條旋轉(zhuǎn)方向不同的螺旋線疊加的一半,因?yàn)檫@兩條螺旋線的虛數(shù)部分相互抵消掉了!
舉個(gè)例子的話,就是極化方向不同的兩束光波,磁場(chǎng)抵消,電場(chǎng)加倍。
這里,逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的我們稱為正頻率,而順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的我們稱為負(fù)頻率(注意不是復(fù)頻率)。
好了,剛才我們已經(jīng)看到了大?!B續(xù)的傅里葉變換頻譜,現(xiàn)在想一想,連續(xù)的螺旋線會(huì)是什么樣子:
想象一下再往下翻:
是不是很漂亮?
你猜猜,這個(gè)圖形在時(shí)域是什么樣子?
哈哈,是不是覺得被***扇了一個(gè)耳光。數(shù)學(xué)就是這么一個(gè)把簡(jiǎn)單的問題搞得很復(fù)雜的東西。
順便說一句,那個(gè)像大海螺一樣的圖,為了方便觀看,我僅僅展示了其中正頻率的部分,負(fù)頻率的部分沒有顯示出來。
如果你認(rèn)真去看,海螺圖上的每一條螺旋線都是可以清楚的看到的,每一條螺旋線都有著不同的振幅(旋轉(zhuǎn)半徑),頻率(旋轉(zhuǎn)周期)以及相位。而將所有螺旋線連成平面,就是這幅海螺圖了。
好了,講到這里,相信大家對(duì)傅里葉變換以及傅里葉級(jí)數(shù)都有了一個(gè)形象的理解了,我們最后用一張圖來總結(jié)一下:
好了,傅里葉的故事終于講完了,下面來講講我的故事:
這篇文章第一次被卸下來的地方你們絕對(duì)猜不到在哪,是在一張高數(shù)考試的卷子上。當(dāng)時(shí)為了刷分,我重修了高數(shù)(上),但是后來時(shí)間緊壓根沒復(fù)習(xí),所以我就抱著裸考的心態(tài)去了考場(chǎng)。但是到了考場(chǎng)我突然意識(shí)到,無論如何我都不會(huì)比上次考的更好了,所以干脆寫一些自己對(duì)于數(shù)學(xué)的想法吧。于是用了一個(gè)小時(shí)左右的時(shí)間在試卷上洋洋灑灑寫了本文的第一草稿。
你們猜我的了多少分?
6 分
沒錯(cuò),就是這個(gè)數(shù)字。而這 6 分的成績(jī)是因?yàn)樽詈笪覍?shí)在無聊,把選擇題全部填上了C,應(yīng)該是中了兩道,得到了這寶貴的 6 分。說真的,我很希望那張卷子還在,但是應(yīng)該不太可能了。
那么你們猜猜我第一次信號(hào)與系統(tǒng)考了多少分呢?
45 分
沒錯(cuò),剛剛夠參加補(bǔ)考的。但是我心一橫沒去考,決定重修。因?yàn)槟莻€(gè)學(xué)期在忙其他事情,學(xué)習(xí)真的就拋在腦后了。但是我知道這是一門很重要的課,無論如何我要吃透它。說真的,信號(hào)與系統(tǒng)這門課幾乎是大部分工科課程的基礎(chǔ),尤其是通信專業(yè)。
在重修的過程中,我仔細(xì)分析了每一個(gè)公式,試圖給這個(gè)公式以一個(gè)直觀的理解。雖然我知道對(duì)于研究數(shù)學(xué)的人來說,這樣的學(xué)習(xí)方法完全沒有前途可言,因?yàn)殡S著概念愈加抽象,維度越來越高,這種圖像或者模型理解法將完全喪失作用。但是對(duì)于一個(gè)工科生來說,足夠了。
后來來了德國,這邊學(xué)校要求我重修信號(hào)與系統(tǒng)時(shí),我徹底無語了。但是沒辦法,德國人有時(shí)對(duì)中國人就是有種藐視,覺得你的教育不靠譜。所以沒辦法,再來一遍吧。
這次,我考了滿分,而及格率只有一半。
老實(shí)說,數(shù)學(xué)工具對(duì)于工科生和對(duì)于理科生來說,意義是完全不同的。工科生只要理解了,會(huì)用,會(huì)查,就足夠了。但是很多高校卻將這些重要的數(shù)學(xué)課程教給數(shù)學(xué)系的老師去教。這樣就出現(xiàn)一個(gè)問題,數(shù)學(xué)老師講得天花亂墜,又是推理又是證明,但是學(xué)生心里就只有一句話:學(xué)這貨到底干嘛用的?
缺少了目標(biāo)的教育是徹底的失敗。
在開始學(xué)習(xí)一門數(shù)學(xué)工具的時(shí)候,學(xué)生完全不知道這個(gè)工具的作用,現(xiàn)實(shí)涵義。而教材上有只有晦澀難懂,定語就二十幾個(gè)字的概念以及看了就眼暈的公式。能學(xué)出興趣來就怪了!
好在我很***,遇到了大連海事大學(xué)的吳楠老師。他的課全程來看是兩條線索,一條從上而下,一條從下而上。先將本門課程的意義,然后指出這門課程中會(huì)遇到哪樣的問題,讓學(xué)生知道自己學(xué)習(xí)的某種知識(shí)在現(xiàn)實(shí)中扮演的角色。然后再從基礎(chǔ)講起,梳理知識(shí)樹,直到延伸到另一條線索中提出的問題,完美的銜接在一起!
這樣的教學(xué)模式,我想才是大學(xué)里應(yīng)該出現(xiàn)的。
最后,寫給所有給我點(diǎn)贊并留言的同學(xué)。真的謝謝大家的支持,也很抱歉不能一一回復(fù)。因?yàn)橹鯇诘牧粞砸鸫渭虞d,為了看到最后一條要點(diǎn)很多次加載。當(dāng)然我都堅(jiān)持看完了,只是沒辦法一一回復(fù)。
本文只是介紹了一種對(duì)傅里葉分析新穎的理解方法,對(duì)于求學(xué),還是要踏踏實(shí)實(shí)弄清楚公式和概念,學(xué)習(xí),真的沒有捷徑。但至少通過本文,我希望可以讓這條漫長(zhǎng)的路變得有意思一些。
最后,祝大家都能在學(xué)習(xí)中找到樂趣…
"汽車維修、汽車保養(yǎng)的知識(shí)可以在哪里可以學(xué)習(xí)到? "
首先,我想強(qiáng)調(diào)的是,學(xué)習(xí)汽車修理技術(shù)需要一定的耐心和毅力。但是,只要你對(duì)這個(gè)領(lǐng)域充滿熱情,并且愿意付出努力,你一定能夠掌握這門技術(shù)。下面,我將按照你的要求,一步一步地為你傳授汽車修理方面的知識(shí)。
1. 背景知識(shí):在學(xué)習(xí)汽車修理技術(shù)之前,你需要了解一些基本的機(jī)械原理、電子原理以及汽車結(jié)構(gòu)。這些知識(shí)將為你理解汽車修理技術(shù)提供基礎(chǔ)。例如,你需要了解汽車的發(fā)動(dòng)機(jī)是如何工作的,如何通過離合器、變速器等部件實(shí)現(xiàn)車輛的動(dòng)力傳遞。此外,你還需了解汽車的電路系統(tǒng),包括電池、發(fā)電機(jī)、點(diǎn)火系統(tǒng)等,以及汽車的主要部件如制動(dòng)系統(tǒng)、懸掛系統(tǒng)等。
2. 汽車修理技術(shù)的基本原理:汽車修理技術(shù)主要涉及以下幾個(gè)方面:(1)故障診斷;(2)維修與更換零部件;(3)測(cè)試與調(diào)試;(4)保養(yǎng)與維護(hù)。在進(jìn)行汽車修理時(shí),你需要運(yùn)用這些原理來解決問題。例如,當(dāng)你發(fā)現(xiàn)汽車出現(xiàn)故障時(shí),你需要通過故障診斷來確定問題所在,然后根據(jù)問題所在的位置和性質(zhì),選擇合適的維修方法。
3. 具體例子:***設(shè)你正在學(xué)習(xí)如何更換汽車的剎車片。首先,你需要檢查剎車片的磨損程度,以確定是否需要更換。接下來,你需要將汽車停在平坦的地面上,并使用千斤頂將車輛抬起。然后,你可以打開剎車油箱蓋,找到剎車油管,并用扳手?jǐn)Q下油管接頭。接著,你可以使用扳手拆下原剎車片,并安裝新的剎車片。最后,你需要啟動(dòng)發(fā)動(dòng)機(jī),讓剎車系統(tǒng)工作一段時(shí)間,以確保新剎車片正常工作。在這個(gè)過程中,你需要關(guān)注每個(gè)步驟的操作細(xì)節(jié),確保安全無誤。
4. 社會(huì)影響:汽車修理技術(shù)在現(xiàn)代社會(huì)中具有重要意義。隨著汽車保有量的不斷增加,汽車修理行業(yè)也得到了迅速發(fā)展。掌握汽車修理技術(shù)不僅可以為自己解決汽車問題,還可以為他人提供幫助,從而促進(jìn)社會(huì)和諧。此外,隨著新能源汽車的普及,電動(dòng)汽車的維修技術(shù)也將成為一個(gè)重要的發(fā)展方向。
5. 相關(guān)知識(shí):為了更好地學(xué)習(xí)汽車修理技術(shù),你可以了解以下幾個(gè)方面的知識(shí):(1)汽車電子控制技術(shù);(2)汽車傳動(dòng)系統(tǒng)原理;(3)汽車燃油系統(tǒng)原理;(4)汽車空調(diào)制冷原理;(5)汽車美容與改裝技巧。
6. 進(jìn)一步學(xué)習(xí)建議:要更深入地學(xué)習(xí)汽車修理技術(shù),你可以閱讀相關(guān)書籍、參加培訓(xùn)課程或者實(shí)踐操作。在中國,有很多優(yōu)秀的汽車修理技術(shù)培訓(xùn)機(jī)構(gòu),如中國汽車技術(shù)研究中心等。此外,你還可以通過網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)如百度經(jīng)驗(yàn)、知乎等獲取更多的學(xué)習(xí)***和交流心得。
希望以上內(nèi)容能對(duì)你學(xué)習(xí)汽車修理技術(shù)有所幫助。如果你在學(xué)習(xí)過程中遇到任何問題,歡迎隨時(shí)向我咨詢。祝你學(xué)習(xí)進(jìn)步!
1、機(jī)油更換常識(shí)
機(jī)油多久更換一次?每次需要更換多少機(jī)油?掌車寶提醒,最直接的就是去查看自己的隨車保養(yǎng)手冊(cè),上面一般都有很清楚的介紹。但也有不少人的保養(yǎng)手冊(cè)早就不見蹤影了,此時(shí)你就要多多了解打聽了。一般說來,機(jī)油的更換周期為5000公里,具體的更換周期和用量要根據(jù)車型相關(guān)信息來判斷。
不是所有的車型都適合車主自己動(dòng)手換機(jī)油,但我們可以學(xué)會(huì)查看機(jī)油標(biāo)尺,以此來判斷機(jī)油是否到了該更換的時(shí)候。還有,更換機(jī)油的同時(shí)必須更換機(jī)油濾清器。
2、變速箱油
為了保證車子轉(zhuǎn)向靈活,要經(jīng)常檢查變速箱油,不論是齒輪油還是自動(dòng)變速箱油,都要注意油品的型號(hào),通常來說都是就高的。
3、剎車油使用常識(shí)
剎車系統(tǒng)的功能與剎車油有著緊密的聯(lián)系,在檢查更換剎車片、剎車盤等硬件時(shí),不要忘記看看剎車油是否需要添加更換。
4、防凍液使用常識(shí)
防凍液最好全年使用,除了防凍冷卻的功能,防凍液還有清潔、除銹、防腐的作用,減少水箱的腐蝕,保護(hù)發(fā)動(dòng)機(jī)。注意防凍液的顏色要挑選正確,不要混用。
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